【光能蜗牛的图形学之旅】求3维度空间异面直线的垂足点

【光能蜗牛的图形学之旅】求3维度空间异面直线的垂足点

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求异面直线一般有定义法和向量法

通常来说，定义法的解法只适用于解题，而实际使用中，为了减少条件判断，通常使用向量法的方式

开始：

题设：假设有两条直线 L1，L2 ，以及两条直线的方向向量V1，V2什么是异面直线举例，求其最短距离连线的连接点。

首先，最短距离很好求，也即是两异面直线公垂线的长度，选择L1上任意一点P1连接L2上任意一点P2，则线段P1P2在L1，L2的公垂线上的投影即是长度,这个太简单，而且百度搜索一搜一大堆，不解释

而异面直线的垂足点，则不是那么好求，我找了好一阵网上的代码，坑得要死，无奈只能自己写，

基本思路如下，

因为直线的定义可以由如下式子给出

L(t) = P + t*V

则在L1和L2上分别选择任意的p1,p2,以及对应的t1,t2,得到的L1(t1),L2(t2)。

写作如下等式

L1(t1) = P1 + t1V1————————–(1)

L2(t2) = P2 + t2V2————————–(2)

如果L1(t1),L2(t2)刚好是各自直线的垂足点，

那么可以得出此时| L2(t2)-L1(t1) | 的模长为最小值

且构成的 L2(t2)-L1(t1) 向量刚好就是公垂线

因为v1,和 v2都和公垂线垂直，所以，v1和v2各自和公垂线的点乘都为0

于是我们可以写出如下等式

（ L2(t2)-L1(t1) ） . V1 = 0//.表示点乘

（ L2(t2)-L1(t1) ） . V2 = 0

即

（t2V2-t1V1 + P2 – P1 ）.V1 = 0

（t2V2-t1V1 + P2 – P1 ）.V2 = 0

整理

t2V2.V1 – t1V1.V1 + (P2 – P1).V1 = 0

t2V2.V2 – t1V1.V2 + (P2 – P1).V2 = 0

令

a = V1 .V2 = V2.V1

b = V1.V1

c = V2.V2

d = (P2 – P1) .V1

e = (P2 – P1).V2

则上式可化简为

at2 – bt1 + d = 0

ct2 – at1 + e = 0

以下分三种情形讨论

当a = 0 ，即 V1 .V2 = V2.V1 = 0时什么是异面直线举例，表明原始两条直线互相垂直

则

t1 = d / b;

t2 = -e / c;

当a != 0时候

解上述方程

t1 = (ae -cd)/(aa-bc)

t2 = b/a * t1 – d/a

这里发现当(a * a – b * c) = 0时，即(V2.V1) * (V2.V1) = (V1.V1) * (V2.V2) = 0时，也就是两条直线平行或共线，此时无意义，所以只要排除即可

综上所述

a = 0 时

t1 = d / b;

t2 = -e / c;

(a * a – b * c) ! = 0 时

t1 = (ae -cd)/(aa-bc)

t2 = b/a * t1 – d/a

   class TLine{
        Vector3 source; //射线起点
        Vector3 vDirection;//射线方向
     }
    void MethodByLightSnail(TLine line1,TLine line2,Color color) {
        float a = Vector3.Dot(line1.vDirection,line2.vDirection);
        float b = Vector3.Dot(line1.vDirection,line1.vDirection);
        float c = Vector3.Dot(line2.vDirection,line2.vDirection);
        float d = Vector3.Dot((line2.source - line1.source),line1.vDirection);
        float e = Vector3.Dot((line2.source - line1.source),line2.vDirection);
        float t1 = 0;
        float t2 = 0;
        if (a == 0)
        {
            t1 = d / b;
            t2 = -e / c;
        }
        else if   (Mathf.Abs(a * a - b * c) < 0.0001f)//表明共线或平行，注意理想情况下应该是a * a - b * c == 0，才认为共线或平行，但在计算机世界里，有精度这个东西存在，所以我们近视的认为数值小于某一个值则认为等于0
        {//说明共线或平行
        }
        else {
            t1 = (a * e - c * d) / (a * a - b * c);
            t2 = b / a * t1 - d / a;
        }
 
    }